二进制原码,反码,补码

原码，反码，补码

Emmm就是用来表示数字的啊……

对于有符号数：
在二进制数前面加上一个符号位表示正负,0表示正,1表示负

规则

负数的反码求法：
1. 符号位不变。
2. 其他位取反。
负数的补码求法：
1. 符号位不变。
2. 其他位取反。
3. 最后一位加1。
对于有符号数而言：
- 二进制的最高位是符号位：0表示正数，1表示负数；
- 正数的原码、反码、补码都一样；
- 负数的反码 = 它的原码符号位不变，其他位取反（0->1 ; 1->0 ）；
- 负数的补码 = 它的反码 +1；
- 0的反码、补码都是0；
- 在计算机运算的时候，都是以补码的方式来运算的；
- 负数符号位不变，其余逐位求反 +1 只是算出补码最简单的方法，而不是理论基础。

例子

[+7] =>
原码：00000111;反码：00000111;补码：00000111.

[-7] =>
原码：10000111;反码：11111000;补码：11111001.

运算问题

补码计算机中的运算

    00001111 (15的原码)         00000111 (7的原码)
+   10001011 (-11的原码)    +   10010000 (-16的原码)
------------                ------------
    00001111 (15的补码)         00000111 (7的补码)
+   11110101 (-11的补码)    +   11110000 (-16的补码)
------------                ------------
   100000100 (舍弃最高位)       11110111 (首位为负数再取补码)
------------                ------------
    00000100 (4的原码)          10001001 (-9的原码)

为什么正数加法也适用于二进制的补码？

实际上，我们要证明的是， $X-Y$ 或 $X+(-Y)$ 可以用 $X$ 加上 $Y$ 的补码 $(-Y)$ 完成。
$Y$ 的二进制补码是 $(11111111-Y)+1$
所以， $X$ 加上 $Y$ 的2的补码就等于： $X + (11111111-Y) + 1$ ;
设 $Z = X + (11111111-Y) + 1$ > 接下来，分成两种情况讨论。
如果 $X \lt Y$ ，那么 $Z$ 是一个负数。
这时，我们就对 $Z$ 采用 补码的逆运算，就是在做一次求补码运算，求出它对应的 正数绝对值，只要前面加上负号就行了。
$Z = -[11111111-Z+1] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1)+1)] = X - Y$ ;
这里如果 $XYZ$ 都是无符号型的，且 $X \lt Y$ 那么 $Z$ 最终得到的数是 $|X-Y|$ 距离的绝对值了，比如 $X=1$ , $Y=255$ ,那么 $Z=2$ ,因为从255到1只要加两次就到了。(对256取模)
如果 $X \gt Y$ ，这意味着 $Z \gt 11111111$ ，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，舍去相当于减去，所以减去 $100000000$ 。
$Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y$
这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。