蒙日圆定理及其扩展

蒙日圆定理

法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆${\frac{x^{2}}{a^{2}}}+{\frac{y^{2}}{b^{2}}}=1$相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$。这一结论被称为蒙日圆。

蒙日圆定理的证明

设${F_{1},F_{2}}$分别为椭圆的左右焦点，焦距为${c}$。

设点${M,N}$分别为点${F_{1}}$关于${PA}$,${F_{2}}$关于${PB}$的对称点。

由椭圆的光学性质知${F_{2}}$，${A}$，${M}$及${F_{1}}$，${B}$，${N}$分别三点共线，由椭圆定义有${MF_{2}=NF_{1}=2a}$。

设${F_{1}M}$交直线${PA}$于点${Q}$，${F_{2}N}$交直线${PB}$于点${S}$，分别延长${MF_{1}}$，${NF_{2}}$交于点${R}$，则${OQ={\frac {1}{2}}MF_{2}={\frac {1}{2}}NF_{1}=OS=a}$，${OR={\frac {1}{2}}F_{1}F_{2}=c}$。

在矩形${PQRS}$中，由平面几何知识易知${OP^{2}+OR^{2}=OQ^{2}+OS^{2}}$，

于是${OP^{2}=OQ^{2}+OS^{2}-OR^{2}=a^{2}+b^{2}}$。

如下图。

蒙日圆定理的扩展

双曲线中的蒙日圆

与椭圆${\frac{x^{2}}{a^{2}}}-{\frac{y^{2}}{b^{2}}}=1$相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是$x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}$。

证明略。

抛物线中的蒙日圆

与抛物线${y^{2}=2px(p>0)}$相切的两条垂直切线的交点的轨迹方程是${x=-{\frac {p}{2}}}$(可以看成是半径无穷大的圆)。

这一性质有另一个相关结论:

阿基米德三角形

过任意抛物线焦点$F$作抛物线的弦，与抛物线交于$A,B$两点，分别过$A,B$两点做抛物线的切线$l_1,l_2$相交于$P$点。那么$△PAB$称作阿基米德三角形。

该三角形满足以下特性：

1. $P$点必在抛物线的准线上
2. $△PAB$为直角三角形，且$∠P$为直角
3. $PF⊥AB$(即符合射影定理)

阿基米德三角形对圆锥曲线的扩展

1. 过某一焦点$F$做弦与圆锥曲线交于$A,B$两点，分别过$A,B$两点做圆锥曲线的切线$l_1,l_2$相交于$P$点。那么，$P$必在该焦点所对应的准线$x=\pm\frac{a^2}{c}$上。

2. 过某准线与$x$轴的交点$Q$做弦与曲线交于$A,B$两点，分别过$A,B$两点做圆锥曲线的切线$l_1,l_2$相交于$P$点。那么，$P$必在一条垂直于$x$轴的直线上，且该直线过对应的焦点$F=(c,0)$。